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Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10400.5/1910

Título: As Transformadas de Fourier e Laplace na Teoria do Risco
Autor: Garcia, Jorge
Orientador: Centeno, Maria de Lourdes
Reis, Alfredo Egídio dos
Palavras-chave: modelo clássico de risco
modelo de renovamento
transformada de Laplace
transformada de Fourier
transformada do coseno
probabilidade de ruína
ruína em tempo finito
tempo de ruína
Issue Date: 2004
Editora: Instituto Superior de Economia e Gestão
Citação: Garcia, Jorge Manuel Afonso. 2004. "As Transformadas de Fourier e Laplace na Teoria do Risco ". Tese de Doutoramento. Universidade Técnica de Lisboa. Instituto Superior de Economia e Gestão
Resumo: São por demais conhecidas as aplicações de transformadas em diversos ramos da ciência e da engenharia. Em particular, na teoria colectiva do risco, as transformadas de Fourier e Laplace têm uma importância acrescida, não só devido à natureza estocástica do processo de risco e das suas componentes, como também pelo facto de variadas soluções, para grande parte dos problemas que se colocam em torno deste tipo de processos, se apresentarem sob a forma de equações diferenciais ou integro-diferenciais, com especial relevo para as equações de renovamento, para resolução das quais aquelas transformadas são fundamentais. A obtenção unívoca de uma determinada função, ou de um seu valor particular, por inversão algébrica ou numérica da respectiva transformada, uma vez encontrada esta, constituiu um dos principais objectivos do trabalho de investigação desenvolvido. Desde a determinação de distribuições agregadas de sinistros, tanto no modelo clássico como em modelos de renovamento, até à determinação de probabilidades de ruína em horizonte finito ou infinito, o presente trabalho procura acentuar as potencialidades da investigação nesta área, bem como a necessidade de aprofundar o papel directo ou indirecto das duplas transformadas, por vezes implícitas, e das fórmulas de inversão complexas disponíveis, tanto sob o ponto de vista analítico, como do ponto de vista prático e numérico. Sobre este último domínio, importa por um lado sublinhar a importância das tranformadas do Coseno e do Seno na inversão da transformada de Fourier, para funções não negativas, as quais, embora conhecidas, têm sido pouco referidas na literatura actuarial, tanto quanto nos é dado conhecer, bem como a necessidade de construir algoritmos de integração numérica potentes, rápidos e precisos, especialmente adaptados à integração de funções circulares, ou funções de rápida oscilação, em intervalos de dimensão por vezes elevada, quando não infinita. Foi este, aliás, um dos objectivos iniciais da investigação prosseguida, que se viria a revelar bastante compensador, pela qualidade dos resultados alcançados, através da construção de um algoritmo arborescente que apelidamos de Integral Dicotómico, o qual se encontra descrito em anexo.
Mathematical transforms and their applications are well known tools and widely used by scientists, engineers and actuaries. In the Collective Risk Theory, Fourier and Laplace transforms have an extra importance due to the stochastic nature of the usual models, either classical or non classical, also to the fact that a great variety of problems emerging from those models have solutions that appear as differential or integral-differential equations, from which renewal equations are the most interesting example. The main goal of this research is the search of an analytic expression for a function, or a particular value by complex or numerical inversion of its transform. The work starts with the study of characteristic functions of the aggregate claims process, either classical or the more general renewal model, goes through the evaluation of survival and ruin probabilities, and wants to enhance a deeper research on these topics using tools as the double Laplace and Fourier transforms. A special attention has been devoted to cosine and sine transforms of non-negative functions. Although well known, they are not frequently referenced in the actuarial literature, however their properties for numerical inversion of Fourier transforms are fundamental. For that purpose, the development of a good algorithm of integration was necessary, a goal which we have achieved successfully by developing the dichotomic approach described in the Appendix.
Descrição: Doutoramento em Matemática Aplicada à Economia e Gestão
URI: http://hdl.handle.net/10400.5/1910
Appears in Collections:DM - Teses de Doutoramento / Ph.D. Thesis
BISEG - Teses de Doutoramento / Ph.D. Thesis

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